Twój Nauczyciel - Rozwiązywanie zadań
Małgorzaty, Benedykta Poniedziałek 13. Lipca 2020r
linki sponsorowane, reklamy
Matura 2019 - zadanie 31 - Planimetria

W trapezie prostokątnym \(ABCD\) dłuższa podstawa \(AB\) ma długość \(8\). Przekątna \(AC\) tego trapezu ma długość \(4\) i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze \(30°\) (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej \(BD\) tego trapezu.

Matura 2019 - zadanie 20 - Planimetria
ROZWIĄZANIE:

Stopień 1. Obliczenie długości boku \(AD\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACD\). Jest to na pewno trójkąt prostokątny którego jeden z kątów ostrych ma miarę \(30°\). Znamy też miarę jednego z boków tego trójkąta, bowiem \(|AC|=4\). Mając miarę kąta oraz jednego boku jesteśmy w stanie obliczyć pozostałe długości boków tego trójkąta, czyli \(AD\) oraz \(DC\). Możemy to zrobić albo z wykorzystaniem własności trójkąta \(30°, 60°, 90°\) albo po prostu z funkcji trygonometrycznych. Korzystając z własności takiego trójkąta wiemy, że bok \(AD\) jest równy połowie długości \(AC\), zatem:
$$|AD|=2$$

Stopień 2. Obliczenie długości przekątnej \(BD\).
Teraz spójrzmy na trójkąt \(ABD\). To także jest trójkąt prostokątny w którym znamy długości dwóch boków \(|AD|=2\) oraz \(|AB|=8\), a przeciwprostokątna tego trójkąta to poszukiwana przez nas przekątna trapezu, czyli odcinek \(BD\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa mamy:
$$2^2+8^2=|BD|^2 \\
4+64=|BD|^2 \\
|BD|^2=68 \\
|BD|=\sqrt{68}=\sqrt{4\cdot17}=2\sqrt{17}$$

ODPOWIEDŹ:
\(|BD|=2\sqrt{17}\)
linki sponsorowane, reklamy
ANAUK.NET, jest nazwą zastrzeżoną (C) 2000. Informacje zawarte na naszych stronach WWW mają charakter dydaktyczno - poglądowy i nie mogą stanowić podstawy do zaniechania kontynuacji nauki w publicznych placówkach oświatowych. Jakkolwiek zespół redakcyjny dokłada wszelkich starań, aby informacje tu zawarte były rzetelne i pochodziły z wiarygodnych źródeł, nie ponosi żadnej odpowiedzialności za ich stosowanie w praktyce.
Udostępnij
Facebook
PetroAstro