Twój Nauczyciel - Rozwiązywanie zadań
Romana, Makarego Piątek 28. Lutego 2020r
linki sponsorowane, reklamy
Matura 2019 - zadanie 29 - Figury

Dany jest okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(r\). Na przedłużeniu cięciwy \(AB\) poza punkt \(B\) odłożono odcinek \(BC\) równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty \(C\) i \(S\) poprowadzono prostą. Prosta \(CS\) przecina dany okrąg w punktach \(D\) i \(E\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta \(ACS\) jest równa \(α\), to miara kąta \(ASD\) jest równa \(3α\)

Matura 2019 - zadanie 29 - Figury
ROZWIĄZANIE:

Stopień 1. Wyznaczenie miary kąta \(SBC\).
Spójrzmy na trójkąt \(SBC\). Wiemy, że jest to trójkąt równoboczny, bo z treści zadania wynika, że \(SB=BC\). Skoro tak, to kąty przy podstawie tego trójkąta mają identyczną miarę. Jeżeli więc kąt \(ACS\) (czyli tak jakby \(BCS\)) ma miarę \(α\), to kąt \(BSC\) ma także miarę równą \(α\).

To z kolei oznacza, że skoro w trójkącie suma kątów ma być równa \(180°\), to kąt \(SBC\) ma miarę:
$$|\sphericalangle SBC|=180°-α-α=180°-2α$$

Stopień 2. Wyznaczenie miary kąta \(ABS\).
Kąt \(ABS\) i kąt \(SBC\) to kąty przyległe, których łączna miara musi mieć w takim razie \(180°\). Skoro \(|\sphericalangle SBC|=180°-2α\), to znaczy że kąt \(ABS\) musi mieć miarę równą \(2α\). Jeżeli ktoś tego nie dostrzega, to możemy to rozpisać w taki sposób:
$$|\sphericalangle ABS|=180°-|\sphericalangle SBC| \\
|\sphericalangle ABS|=180°-(180°-2α) \\
|\sphericalangle ABS|=180°-180°+2α \\
|\sphericalangle ABS|=2α$$

Stopień 3. Obliczenie miary kąta \(ASB\).
Teraz spójrzmy na trójkąt \(ABS\). To także trójkąt równoramienny (ramiona \(AS\) oraz \(BS\) są promieniami okręgu), zatem tutaj też kąty przy podstawie mają jednakową miarę. Skoro więc \(|\sphericalangle ABS|=2α\) to i \(|\sphericalangle SAB|=2α\).

To z kolei oznacza, że trzeci kąt w tym trójkącie, czyli kąt \(ASB\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle ASB|=180°-2α-2α=180°-4α$$

Stopień 4. Obliczenie miary kąta \(ASD\).
Suma kątów \(ASD\), \(ASB\) oraz \(BSC\) musi nam dać łącznie \(180°\). Już ustaliliśmy, że \(|\sphericalangle ASB|=180°-4α\) oraz \(|\sphericalangle ASB|=α\). Szukamy miary kąta \(ASD\) zatem:
$$|\sphericalangle ASD|=180°-|\sphericalangle ASB|-|\sphericalangle BSC| \\
|\sphericalangle ASD|=180°-(180°-4α)-α \\
|\sphericalangle ASD|=180°-180°+4α-α \\
|\sphericalangle ASD|=3α$$

ODPOWIEDŹ:
Udowodniono korzystając z własności trójkątów równoramiennych.
linki sponsorowane, reklamy
ANAUK.NET, jest nazwą zastrzeżoną (C) 2000. Informacje zawarte na naszych stronach WWW mają charakter dydaktyczno - poglądowy i nie mogą stanowić podstawy do zaniechania kontynuacji nauki w publicznych placówkach oświatowych. Jakkolwiek zespół redakcyjny dokłada wszelkich starań, aby informacje tu zawarte były rzetelne i pochodziły z wiarygodnych źródeł, nie ponosi żadnej odpowiedzialności za ich stosowanie w praktyce.
Udostępnij
Facebook
PetroAstro