Twój Nauczyciel - Rozwiązywanie zadań
Małgorzaty, Benedykta Poniedziałek 13. Lipca 2020r
linki sponsorowane, reklamy
Matura 2019 - zadanie 28 - Algebra

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(3a^2-2ab+3b^2\ge0\)

ROZWIĄZANIE:

Stopień 1. Rozpisanie podanego wyrażenia.
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). W związku z tym możemy rozbić sobie wyrażenie z treści zadania na takie, by jego częściami składowymi był właśnie zapis \(a^2-2ab+b^2\). Całość wyglądałaby następująco:
$$3a^2-2ab+3b^2=a^2-2ab+b^2+2a^2+2b^2=(a-b)^2+2a^2+2b^2$$

Stopień 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Przeanalizujmy sobie każdy ze składników powstałej sumy:
\((a-b)^2\) - jest to na pewno liczba dodatnia lub równa zero, bo każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny.
\(2a^2\) - ta liczba też jest na pewno dodatnia lub równa zero, bo \(a^2\) jest na pewno nieujemne, no a liczba nieujemna pomnożona przez \(2\) nadal jest liczbą nieujemną.
\(2b^2\) - podobnie jak \(2a^2\), jest to na pewno liczba dodatnia lub równa zero.

W związku z tym mając dodawanie \((a-b)^2+2a^2+2b^2\) dodajemy do siebie trzy liczby, które są na pewno dodatnie lub równe zero. Stąd też ich suma musi dać wynik większy lub równy \(0\).

ODPOWIEDŹ:
Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.
linki sponsorowane, reklamy
ANAUK.NET, jest nazwą zastrzeżoną (C) 2000. Informacje zawarte na naszych stronach WWW mają charakter dydaktyczno - poglądowy i nie mogą stanowić podstawy do zaniechania kontynuacji nauki w publicznych placówkach oświatowych. Jakkolwiek zespół redakcyjny dokłada wszelkich starań, aby informacje tu zawarte były rzetelne i pochodziły z wiarygodnych źródeł, nie ponosi żadnej odpowiedzialności za ich stosowanie w praktyce.
Udostępnij
Facebook
PetroAstro