Twój Nauczyciel - Rozwiązywanie zadań
Wawrzyńca, Borysa Poniedziałek 10. Sierpnia 2020r
linki sponsorowane, reklamy
Matura 2019 - zadanie 15 - Planimetria

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(5\) oraz okrąg o środku w punkcie \(P\) i promieniu \(3\). Odcinek \(OP\) ma długość \(16\). Prosta \(AB\) jest styczna do tych okręgów w punktach \(A\) i \(B\). Ponadto prosta \(AB\) przecina odcinek \(OP\) w punkcie \(K\) (zobacz rysunek).

Matura 2019 - zadanie 10 - Funkcje.jpg

Wtedy:

A. \(|OK|=6\)
B. \(|OK|=8\)
C. \(|OK|=10\)
D. \(|OK|=12\)
ROZWIĄZANIE:

Stopień 1.Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Spójrzmy na trójkąty \(OAK\) oraz \(BPK\). Są to trójkąty podobne i jesteśmy w stanie stwierdzić to na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. W jaki sposób?
Styczna tworzy z promieniem kąt prosty, zatem jeden i drugi trójkąt są prostokątne. Dodatkowo kąty \(AKO\) oraz \(BKP\) są kątami wierzchołkowymi, a zgodnie z własnościami takich kątów będą one miały jednakową miarę. Skoro więc dwa kąty w tych trójkątach mają jednakowe miary, to i trzeci kąt ma tą samą miarę. To oznacza, że na pewno będą to trójkąty podobne.

Stopień 2.Zapisanie równania.
Skoro są to trójkąty podobne, to muszą mieć one jednakowe stosunki długości boków. Skoro interesuje nas poznanie odcinka \(OK\) (czyli tak naprawdę przeciwprostokątnej trójkąta \(OAK\)) i znamy długości boków \(OA\) oraz \(BP\), to możemy ułożyć następującą proporcję:
$$\frac{|OA|}{|OK|}=\frac{|BP|}{|KP|} \\
\frac{5}{|OK|}=\frac{3}{|KP|}$$

Stopień 3.Wyznaczenie długości odcinka \(OK\).
Mnożąc na krzyż równanie otrzymane w drugim kroku otrzymamy informację, że:
$$5\cdot|KP|=3\cdot|OK| \\
|KP|=\frac{3}{5}\cdot|OK|$$

Z rysunku oraz z treści zadania wynika, że:
$$|OK|+|KP|=16$$

Podstawiając informację o tym, że \(|KP|=\frac{3}{5}\cdot|OK|\) otrzymamy:
$$|OK|+\frac{3}{5}\cdot|OK|=16 \\
1,6\cdot|OK|=16 \\
|OK|=10$$

ODPOWIEDŹ:
C.
linki sponsorowane, reklamy
ANAUK.NET, jest nazwą zastrzeżoną (C) 2000. Informacje zawarte na naszych stronach WWW mają charakter dydaktyczno - poglądowy i nie mogą stanowić podstawy do zaniechania kontynuacji nauki w publicznych placówkach oświatowych. Jakkolwiek zespół redakcyjny dokłada wszelkich starań, aby informacje tu zawarte były rzetelne i pochodziły z wiarygodnych źródeł, nie ponosi żadnej odpowiedzialności za ich stosowanie w praktyce.
Udostępnij
Facebook
PetroAstro