Twój Nauczyciel - Rozwiązywanie zadań
Franciszka, Urbana Czwartek 2. Kwietnia 2020r
linki sponsorowane, reklamy
Matura 2018 - zadanie 28 - Algebra

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\ge\frac{2}{a+b}\).

ROZWIĄZANIE:

Stopień 1. Ustalenie znaku liczb znajdujących się w mianownikach ułamków.
Za chwilę będziemy wykonywali różne operacje na tej nierówności, będziemy mnożyli i dzielili obustronnie, tak aby pozbyć się ułamków. Przy nierównościach musimy być jednak bardzo ostrożni, bowiem mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną będziemy musieli zmienić znak nierówności na przeciwny. Stąd też dobrze jest ustalić sobie jaka wartość kryje się pod \(2a\), \(2b\) oraz \(a+b\).

Z założeń wynika, że liczby \(a\) oraz \(b\) mają być dodatnie. W związku z tym wszystkie wyrażenia znajdujące się w mianownikach (czyli \(2a\), \(2b\) oraz \(a+b\)) także będą dodatnie. To oznacza, że mnożąc i dzieląc obustronnie tę nierówność nie będziemy musieli zmieniać znaku na przeciwny.

Stopień 2. Przekształcenie nierówności.
Musimy naszą nierówność przekształcić w taki sposób, by finalnie otrzymać dowód na prawdziwość tej nierówności. Najlepiej będzie zacząć od pozbycia się ułamków, możemy to robić krok po kroku, by niczego nie zgubić:
$$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\ge\frac{2}{a+b} \quad\bigg/\cdot2a \\
1+\frac{2a}{2b}\ge\frac{4a}{a+b} \quad\bigg/\cdot2b \\
2b+2a\ge\frac{8ab}{a+b} \quad\bigg/\cdot (a+b) \\
2b(a+b)+2a(a+b)\ge8ab \\
2ab+2b^2+2a^2+2ab\ge8ab \\
2a^2+2b^2+4ab\ge8ab \\
2a^2+2b^2\ge4ab \quad\bigg/:2 \\
a^2+b^2\ge2ab \\
a^2-2ab+b^2\ge0 \\
(a-b)^2\ge0$$

Z racji tego iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.

ODPOWIEDŹ:
Udowodniono przekształcając nierówność do postaci wzoru skróconego mnożenia.
linki sponsorowane, reklamy
ANAUK.NET, jest nazwą zastrzeżoną (C) 2000. Informacje zawarte na naszych stronach WWW mają charakter dydaktyczno - poglądowy i nie mogą stanowić podstawy do zaniechania kontynuacji nauki w publicznych placówkach oświatowych. Jakkolwiek zespół redakcyjny dokłada wszelkich starań, aby informacje tu zawarte były rzetelne i pochodziły z wiarygodnych źródeł, nie ponosi żadnej odpowiedzialności za ich stosowanie w praktyce.
Udostępnij
Facebook
PetroAstro