Motorówka płynie z punktu A do B w górę rzeki $h$ , a z punktu B do A w dół rzeki $h$ . Oblicz prędkość motorówki względem wody, jeżeli prędkość nurtu rzeki wynosi $\frac{m}{s}$

dokładność - ilość miejsc po przecinku

0123456789101112

Oblicz

Mamy do czynienia z dwoma przypadkami ruchu jednostajnego prostoliniowego.

Pierwszy przypadek:

Motorówka płynie w górę rzeki, z punktu A do punktu B. Kierunek jej ruchu jest przeciwny do kierunku rzeki.
Prędkość motorówki względem brzegu (czyli względem miejscowości A i B) jest sumą prędkości motorówki względem rzeki oraz prędkości rzeki.
Oznaczając prędkość motorówki względem rzeki: $v$, prędkość rzeki: $v_{\mathrm{rz}}$, oraz prędkość motorówki względem brzegu: $v_u$, możemy zapisać równanie ruchu: $$v_u=v-v_{\mathrm{rz}}\text{(1)}$$ Wektor prędkości motorówki jest sumą wektorów prędkości rzeki i motorówki względem brzegu (ze znakiem ujemnym ponieważ jest przeciwnie zwrócony)

Drugi przypadek:

Motorówka płynie w dół rzeki, z punktu B do punktu A. Kierunek jej ruchu jest zgodny z kierunkiem rzeki.
Prędkość motorówki względem brzegu (czyli względem miejscowości A i B) jest sumą prędkości motorówki względem rzeki oraz prędkości rzeki.
Zapisujemy równanie ruchu: $$v_u=v+v_{\mathrm{rz}}\text{(2)}$$ z definicji Ruchu Jednostajnego $$v=\frac{s}{t}\text{(3)}$$ Dla przypadku pierwszego mamy: $$v_u=\frac{s}{t_1}$$ łódź pokonuje drogę s od punktu A do B w czasie $t_1$. Wstawiając wartość pędkości względem brzegu $v_u$ z równania (3) do równania (1), otrzymujemy: $$\frac{s}{t_1}=v-v_{\mathrm{rz}}$$ Obustronnie mnożymy otrzymane równanie przez t 1 wyznaczając drogę: $$s=t_1\left(v-v_{rz}\right)\text{(4)}$$ Dla przypadku drugiego mamy: $$v_u=\frac{s}{t_2}$$ Wyznaczoną wartość $v_u$ wstawiamy do równania (2) otrzymując: $$\frac{s}{t_2}=v+v_{\mathrm{rz}}$$ Następnie za $s$ wstawiamy wyznaczoną w równaniu (4) wartość otrzymując: $$\frac{t_1\left(v-v_{\mathrm{rz}}\right)}{t_2}=v+v_{\mathrm{rz}}$$ Przekształcając: $$\frac{t_1}{t_2}v-\frac{t_1}{t_2}{v}_{\mathrm{rz}}=v+v_{\mathrm{rz}}$$ $$\frac{t_1}{t_2}v-v=\frac{t_1}{t_2}{v}_{\mathrm{rz}}+v_{\mathrm{rz}}$$ $$v\left(\frac{t_1}{t_2}-1\right)=v_{\mathrm{rz}}\left(\frac{t_1}{t_2}+1\right)$$ wyznaczamy prędkość łódki względem rzeki $$v=v_{\mathrm{rz}}\frac{\left(\frac{t_1}{t_2}+1\right)}{\left(\frac{t_1}{t_2}-1\right)}$$ Podstawiając dane liczbowe mamy: $$v=2\frac{\left(\frac{3}{2}+1\right)}{\left(\frac{3}{2}-1\right)}$$ $$v=2\frac{\left(1.5+1\right)}{\left(1.5-1\right)}$$ $$v=2\frac{2.5}{0.5}=10$$ Sprawdzamy jednostki: $$\frac{m}{s}=\frac{m}{s}\frac{\left(\frac{h}{h}+1\right)}{\left(\frac{h}{h}-1\right)}=\frac{m}{s}$$

$\text{Prędkość motorówki względem wody wynosi }10\frac{m}{s}$ $$v=10\frac{m}{s}$$